题目

确定函数 $f(x) = |x^3-x-\sin x|$ 不可导的点的个数

解答

之前说过的一个知识点，不可导点个数，不外乎分析 分段点 即可

由分段函数的一个已知结论：

  1. $x_0 \ne 0$, $f(x_0) \text{可导}\Leftrightarrow |f(x_0)| \text{可导}$
  2. $x_0 = 0$, $f’(x_0) = 0 \Leftrightarrow |f(x_0)| \text{可导}$

令 $g(x) = x^3-x-\sin x$，由于 $g(x)$ 是 奇函数，故只需研究大于等于0的部分

找出 $g(x)$ 的零点: $g’(x) = 3x^2 - \cos x - 1$, $g’(0) < 0, \lim\limits_{x\to\infty}g’(x) > 0$

故由 零点定理 可知至少存在一个零点满足 $g’(x) = 0$

又 $g’’(x) = 6x + \sin x > 0$ 可知 $g’(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有且仅有一个零点

设该点为 $x_0$，因此 $x \in (0, x_0)$ 时单调递减， $x \in (x_0,+\infty)$ 时单调递增

又 $g(x_0) < 0$，故存在一个零点 $x_1\in(x_0, +\infty)$

综上所述，共 $3$ 个零点 $-x_1, 0, x_1$