题目

设函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 的某个邻域有定义，则下列命题

(A) 若 $f’(x_0)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续

(B) 若 $f_{-}’(x_0),f_{+}’(x_0)$ 都存在，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续

(D) 若 $\lim\limits_{x\to x_0}f’(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续

解答

命题一：可导必连续，故正确

命题二：左右导数存在，则可以写出如下定义：

$\lim\limits_{x\to x_0^+} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，$\lim\limits_{x\to x_0^-} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在

故$\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ 且 $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

由于 左连续 且 右连续 故在该点连续

故正确

命题三：导数的极限 存在，必然不能推得在该点连续

读者可以随意写两个函数，然后分段后在一点上跳跃间断即可

例如 $\begin{cases}
x^2 + 2 &x<0\
x^2 + 3 &x\ge0
\end{cases}$ 在 $x=0$ 跳跃间断，但左右导数极限存在

故错误

命题四：同理上面，推不了，函数可以在这一点 可去间断

邻域内的导数极限，不受到该点的影响

故错误

看见堡的理解很棒：函数可导就一定连续，左可导左连续，右可导右连续