题目

已知 $f(x)$ 为奇函数，则 $f’_+(0)$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（ ）条件

解答

“$\Leftarrow$”：显然

“$\Rightarrow$”：$f_{+}’(0) = \lim\limits_{x\to0^+} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{t\to0^-} \dfrac{f(-t)}{-t} =
\lim\limits_{t\to0^-} \dfrac{-f(t)}{-t} = \lim\limits_{t\to0^-} \dfrac{f(t)}{t} = f_{-}’(0)$

左导数 $=$ 右导数 $\Rightarrow$ $x = 0$ 导数存在

故是 充要条件