题目

$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f[\varphi(x)] - f(0)}{\varphi(x)}$ 看似很像导数定义，但实则存在许多问题

解答

例如 $\varphi(x) > 0$ 则该式子只能说明在 $x=0$ 处的 右导数 存在，反例 $\varphi(x) = x^2$

反之 $\varphi(x) < 0$ 则该式子只能说明在 $x=0$ 处的 右导数 存在，反例 $\varphi(x) = -x^2$

因此必须满足 $\varphi(x)$ 不是 恒正或恒负 的才能满足在 $x = 0$ 点的导数定义

故不能正推

反过来也不成立，如果 $\varphi(x) \equiv 0$ 则该式为 未定义式，故当然 极限不存在

因此 即非必要也非充分条件

看了一下武老师的讲解，他把 $\varphi(x)\xlongequal{令}x\sin \dfrac{1}{x}$ 这个是更好说明的例子

因为他在趋于 $0$ 的任意邻域内都有等于$0$的值，且满足了极限为0

该例子更值得记忆