题目

下列函数中在 $x=0$ 处不可导的是（ ）

(A) $\displaystyle\int_0^x(|t|+t)dt$

(B) $|x|(x+\displaystyle\int_0^{|x|}e^{t^2}dt)$

(C) $|\tan x - \sin x|$

(D) $\sin|x| + \cos|x|$

解答

变上限积分在一点 可导性 取决于被积函数在该点的 连续性

显然 (A) 可导

(B) 选项：$f’(0) = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{|x|}{x} \cdot (x + \displaystyle\int^{|x|}e^{t^2}dt) = 0$

故（B）在 $x = 0$ 也可导

(C) 选项：$f_{+}’(0) = \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\tan x - \sin x}{x} = 0$，$f_{-}’(0) = \lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\sin x - \tan x}{x} = 0$

故（C）在 $x = 0$ 也可导

(D) 选项：$f’(0) = \lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin|x| + \cos|x| - 1}{x} = \lim\limits_{x\to0} \dfrac{|x| - \dfrac{1}{2}|x|^2 + o(|x|^2)}{x} = \lim\limits_{x\to0} \dfrac{|x|}{x}$ 不存在

故选 $\mathbf{D}$