题目

已知函数 $f(x) = \dfrac{(x^2 + a^2)(x-1)}{e^{\frac{1}{x}} + b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，求 $a,b$ 的值

解答

能且只能在分母为 $0$ 处，出现题目的两个间断点：$x = 0$ 处和 $x = \dfrac{1}{\ln(-b)}$

$x \to 0^+$ 时：$f(x) = 0$ 显然

$x \to 0^-$ 时：$f(x) = -\dfrac{a^2}{b}$

由于不存在第二类间断点，故分母趋于零的间断点必定会被分子抵消

则可知 $\lim\limits_{x\to 1} e^{\frac{1}{x}} + b = 0$，得出 $b = -e$

此时: $x = 1$ 为可去间断点，故 $x=0$ 为跳跃间断点

故 $a \ne 0, b = -e$