第257题 | 知识点：函数间断点强化训练 （五）

题目

设 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，且 $\dfrac{f(x)-2x}{e^{x-1} - 1} - \dfrac{1}{\ln x}$ 在 $x=1$ 的某去心邻域有界，求 $f(1)$ 的值

解答

泰勒展开你就慢了，这题武老师的方法秒杀，妙啊

由 $\dfrac{f(x)-2x}{e^{x-1} - 1} - \dfrac{1}{\ln x}$ 在 $x\to 1$ 时有界

故 $\lim\limits_{x\to 1} (e^{x-1} - 1) \times \Bigg(\dfrac{f(x)-2x}{e^{x-1} - 1} - \dfrac{1}{\ln x} \Bigg) = 0$

$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to 1} (e^{x-1} - 1) \times \Bigg(\dfrac{f(x)-2x}{e^{x-1} - 1} - \dfrac{1}{\ln x} \Bigg) &= \lim\limits_{x\to 1} f(x) - 2x - \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^{x-1} - 1}{\ln x} \\
&= f(1) - 2 - \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x-1} \\
&= f(1) - 3
\end{aligned}
$$

故 $f(1) = 3$

当然本题也可以通分，泰勒展开算，就是有点慢了