题目

设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内有定义，$f(x)$ 为连续函数，$\varphi(x)$ 有间断点，则下列命题:

(A) $f(x)\Big[|\varphi(x)| + \varphi^2(x)\Big]$ 必有间断点

(B) 若 $f(x)$ 单调，则 $\dfrac{\varphi(x)}{|f(x)|}$ 必有间断点

(C) $\dfrac{\varphi(x)}{1+f^2(x)}$ 必有间断点

(D) $f(x)\varphi(x)$ 必有间断点

中，命题正确的是哪些？

解答

(A) 错误，直接令 $f(x) \equiv 0$ 结束

(B) 正确，分类讨论：

若 $f(x)$ 无零点连续，则 $|f(x)|$ 无零点连续，故 $\dfrac{\varphi(x)}{|f(x)|}$ 有间断点

若 $f(x)$ 有零点，则 $\dfrac{\varphi(x)}{|f(x)|}$ 必有间断点

(C) 正确，显然

(D) 错误，令 $f(x) \equiv 0$ 结束

这里武老师有个小总结：

$|f(x)|$ 有间断点 $\Rightarrow$ $f(x)$ 有间断点

$f^2(x)$ 有间断点 $\Rightarrow$ $f(x)$ 有间断点

$f(x)$ 连续 $\Rightarrow$ $|f(x)|$ 连续

反之，都不成立