第253题 | 知识点：函数间断点强化训练 （一）

题目

求函数 $f(x) = \dfrac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}}\ln|x|}$ 的可去间断点的个数

解答

无定义点：$x = 2, x = 1, x = -1, x = 0$，故只需研究这四点即可

x = 0:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}}\ln|x|} =
\sqrt{e}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\ln|x|} = 0 \quad \Rightarrow \quad x=0$ 是 可去间断点

x = 1:

$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}}\ln|x|} =
2e \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{|x-1|}{x - 1} \quad \Rightarrow \quad x=1$ 是 跳跃间断点

x = -1:

$\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}}\ln|x|} =
-2e \cdot \lim\limits_{x \to -1} \dfrac{(x + 1)}{x + 1} = -2e \quad \Rightarrow \quad x=1$ 是 可去间断点

x = 2:

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}}\ln|x|} =
\dfrac{3}{\ln 2}\lim\limits_{x \to 2} e^{\frac{-1}{x-2}}$

$\lim\limits_{x \to 2^+} e^{\frac{-1}{x-2}} = 0$，$\lim\limits_{x \to 2^-} e^{\frac{-1}{x-2}} = +\infty$，故 $x = 2$ 是 第二类间断点

故 可去间断点 数量为 $2$