第252题 | 知识点：等价无穷小（十一）

题目

设函数 $f(x)=\sec x$ 在 $x=0$ 处的$2$次泰勒多项式为$1+ax+bx^2$，求参数 $a,b$

解答

直接具体展开不太容易，考虑使用抽象展开式，再利用 算两次 的思想，令 系数相等

泰勒在 $x = 0$ 的抽象展开式:

$$
f(x) = f(0) + f’(0)x + \dfrac{f’’(0)}{2}x^2 + o(x^2)
$$

$$
\begin{aligned}
f(0) &= \sec 0 = 1 \\
f’(0) &= \tan 0 \sec 0 = 0 \\
f’’(0) &= \sec^3 0 + \tan^2 0 \sec 0 = 1 \\
\end{aligned}
$$

故 $a = 0, b = \dfrac{1}{2}$