题目

设函数 $f(x)=\dfrac{\sin x}{1+x^2}$ 在 $x=0$ 处的 $3$ 次泰勒多项式为 $ax+bx^2+cx^3$，求参数 $a,b,c$

解答

简单推导：

$$
\begin{aligned}
\sin x &= x - \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3)
\\
\dfrac{1}{1 + x^2} &= 1 - x^2 + x^4 + o(x^4)
\\
\dfrac{\sin x}{1+x^2} &= [x - \dfrac{1}{6}x^3 + o(x^3)] \cdot [1 - x^2 + x^4 + o(x^4)] = x - \dfrac{7}{6}x^3 + o(x^3)
\end{aligned}
$$

故 $a = 1, b = 0, c = -\dfrac{7}{6}$