题目

设 $x\to a$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题

(A) $f(x)g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小

(B) 若 $n > m$，$\frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小

(D) 若 $f(x)$ 连续，则 $\int_a^x f(t)dt$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小

中，正确的个数是（）

解答

由题干可知：$f\sim (x-a)^n, g \sim (x - a)^m$

(A)选项

因式考虑直接使用等价无穷小：

$$
f \cdot g \sim (x - a)^{n + m}
$$

故正确

(B)选项

因式考虑直接使用等价无穷小：

$$
\dfrac{f}{g} \sim (x - a)^{n - m}
$$

故正确

(C)选项

错误，因为如果他们是同阶无穷小，可能是相反数，一加变成 $0$了

考虑构造反例：$f(x) = (x-a)^n , g(x) = -(x - a)^n$

则：$f + g = 0$

(D)选项

不妨用 洛必达 去验证

$$
\lim_{x\to a}\frac{\displaystyle\int_a^xf(t)dt}{(x - a)^{n+1}} =
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{(n+1)(x - a)^{n}} = \dfrac{1}{n+1}
$$

故正确

因此正确的选项为 A,B,C