第244题 | 知识点：等价无穷小（三）

题目

已知 $a,b$ 为常数，若 $(1+\dfrac{1}{n})^n-e$ 与 $\dfrac{b}{n^a}$ 在 $n\to\infty$ 时是等价无穷小，求$a,b$

解答

数列问题，却要求等价无穷小，不妨先 连续化 转为 函数问题，再用 海涅定理 证明

$$
\begin{aligned}
&
\lim_{n\to\infty} \dfrac{(1 + \dfrac{1}{n})^n - e}{\dfrac{b}{n^a}}
\xlongequal{\text{连续化}}
\lim_{x\to+\infty} \dfrac{(1 + \dfrac{1}{x})^x - e}{\dfrac{b}{x^a}}
\\
\xlongequal{\text{倒代换}} &
\lim_{x\to0^+} \dfrac{(1 + x)^\frac{1}{x} - e}{bx^a} =
\lim_{x\to0^+} \dfrac{e^{\frac{\ln(1 + x)}{x}} - e}{bx^a}
\\
=&
e\lim_{x\to0^+} \dfrac{e^{\frac{\ln(1 + x) - x}{x}} - 1}{bx^a} =
e\lim_{x\to0^+} \dfrac{\ln(1 + x)-x}{bx^{a + 1}}
\\
=&
-\dfrac{e}{2b}\lim_{x\to0^+} \dfrac{x^2}{x^{a + 1}}
\end{aligned}
$$

由 海涅定理 可知，原 数列极限 与 函数极限 收敛到同一个值

故该极限值为 $1$，得 $a = 1, b = -\dfrac{2}{e}$