题目

当 $x\to0$ 时，$\displaystyle\int_0^{x^2}(e^{t^3}-1)dt$ 是 $x^7$ 的几阶无穷小

解答

当 $x\to0$ 时，我们可以先用 变上限积分被积函数等价无穷小 的方法，化简 被积函数

$$
\displaystyle\int_0^{x^2}(e^{t^3}-1)dt \sim \int_0^{x^2} t^3 dt
$$

然后直接把这个积分解出来：$\displaystyle\int_0^{x^2} t^3 dt = \dfrac{1}{4} x^8$

故可知，该函数是 $x^7$ 的 高阶无穷小