题目

已知常数$a>0$，$bc\ne0$，使得$\lim\limits_{x\to+\infty}[x^a\ln(1+\dfrac{b}{x}) - x]=c$，求$a,b,c$.

解答

不妨先 倒代换，令 $t = \dfrac{1}{x}$，然后直接 泰勒展开

$$
\lim_{t\to0^+} \dfrac{\ln(1 + bt) - t^{a - 1}}{t^a} =
\lim_{t\to0^+} \dfrac{bt - \dfrac{b^2}{2}t^2 - t^{a - 1} + o(t^2)}{t^a} =c
$$

$a \lt 2$ 时：极限不存在

$a = 2$ 时：要使极限存在，$b - 1 = 0$，此时$c = -\dfrac{1}{2}$

$a > 2$ 时，极限不存在

综上所述 $a = 2, b = 1, c = -\dfrac{1}{2}$