题目

若 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos(xe^x)-e^{-\dfrac{x^2e^{2x}}{2}}}{x^\alpha}=
\beta\ne0$，求 $\alpha,\beta$

解答

已知极限反求参数，不能使用洛必达，不能使用洛必达，不能使用洛必达
这个行为违背了洛必达的 先验性
在已知极限的情况下，再洛必达获得的新极限，不一定与原极限相等

由泰勒展开：

$$
\cos(xe^x) = 1 - \dfrac{1}{2} (x^2e^{2x}) + \dfrac{1}{24}x^4e^{4x} + o(x^4e^{4x})
$$

$$
e^{-\dfrac{x^2e^{2x}}{2}} = 1 - \dfrac{1}{2}(x^2e^{2x}) + \dfrac{1}{8}(x^4e^{4x}) + o(x^4e^{4x})
$$

可以推得：

$$
\cos(xe^x)-e^{-\dfrac{x^2e^{2x}}{2}} \sim -\dfrac{1}{12}x^4e^{4x}
$$

故：

$$
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos(xe^x)-e^{-\dfrac{x^2e^{2x}}{2}}}{x^\alpha} =
\lim\limits_{x\to0} \dfrac{-\dfrac{1}{12}x^4}{x^\alpha} = \beta \ne 0
$$

由于 极限存在，且不为 $0$，故 $\alpha = 4, \beta = - \dfrac{1}{12}$