题目

$$
\lim_{x\to+\infty} \Big(x^{\frac{1}{x}} - 1\Big)^{\frac{1}{\ln x}}
$$

解答

这里介绍一个 对数函数的等价无穷大技巧：

若 $x \to x_0$ 时，$A$ 与 $B$ 是等价无穷小 （$A \sim B$），则 $\ln A$ 与 $\ln B$ 是 等价无穷大

证明：

$$
\text{欲证：}\lim_{x\to x_0} \dfrac{\ln A}{\ln B} = 1,\text{不妨证} \lim_{x\to x_0} \dfrac{\ln A}{\ln B} - 1 = 0
$$

$$
\lim_{x\to x_0} \dfrac{\ln A}{\ln B} - 1 = \lim_{x\to x_0} \dfrac{\ln A - \ln B}{\ln B} =
\lim_{x\to x_0} \dfrac{\ln\dfrac{A}{B}}{\ln B} = \dfrac{0}{\infty} = 0 \quad QED
$$

在本题中，取过指对数后，可利用该技巧：

$$
\begin{aligned}
&\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln (e^{\dfrac{\ln x}{x}} - 1)}{\ln x}
\\
=&\lim_{x\to +\infty}
\dfrac{\ln ({\dfrac{\ln x}{x}})}{\ln x}
\\
=&
\lim_{x\to +\infty}
\dfrac{\ln\ln x - \ln x}{\ln x}
\\
\xlongequal{L’}&
\lim_{x\to +\infty}
\dfrac{1 - \ln x}{\ln x}
\\
=& -1
\end{aligned}
$$