题目

$$
\lim_{x\to+\infty}\Big[\frac{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}{\ln(x+\sqrt{x^2-1})}\Big]^{x^2\ln x}
$$

解答

$$
\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+\sqrt{x^2-1})}{\ln x} = 1 \quad\Rightarrow\quad
\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \sim \ln x
$$

$$
\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1}}{\frac{1}{x}} = 1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} \sim \dfrac{1}{x}
$$

$$
\begin{aligned}
原式
&=
\lim_{x\to+\infty} e^{x^2\ln x\cdot\ln(\frac{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}{\ln(x+\sqrt{x^2-1})})}
\quad(幂指函数互化)
\\
&=
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\ln x\cdot (\frac{\ln(x+\sqrt{x^2+1}) - \ln(x+\sqrt{x^2-1})}{\ln(x+\sqrt{x^2-1})})}
\quad(等价无穷小代换)
\\
&=
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\ln x\cdot (\frac{\ln(x+\sqrt{x^2+1}) - \ln(x+\sqrt{x^2-1})}{\ln x})}
\quad(\ln(x+\sqrt{x^2-1}) \sim \ln x)
\\
&=
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\cdot \Big((\ln(x+\sqrt{x^2+1}) - \ln(x+\sqrt{x^2-1})\Big)}
\quad =
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\cdot \ln\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2-1}}}
\quad (\ln\frac{A}{B} = \ln A - \ln B)
\\
&=
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\cdot \frac{x+\sqrt{x^2+1} - x - \sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}}
\quad =
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\cdot \frac{\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}}
\quad(等价无穷小代换)
\\
&=
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\cdot \frac{\frac{1}{x}}{x+\sqrt{x^2-1}}}
\quad =
e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x}{x+\sqrt{x^2-1}}}
\quad(\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} \sim \dfrac{1}{x})
\\
&=
e^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$