第228题 | 知识点：强化极限训练（十八）

题目

$$
\text{求极限 }\lim_{x\to+\infty}x(1-\frac{\ln x}{x})^x
$$

解答一（暴力解）

“$\infty \cdot 0$” 型，考虑倒代还化为 “$\dfrac{0}{0}$” 型

令 $x = \dfrac{1}{t}$，则：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to+\infty} x(1-\frac{\ln x}{x})^x
&=
\lim_{t\to0^+} \frac{(1+t\ln t)^{\dfrac{1}{t}}}{t}
\\
&=
\lim_{t\to0^+} \frac{e^{\dfrac{\ln(1 + t\ln t)}{t}}}{t}
\\
&=
\lim_{t\to0^+} \frac{e^{\dfrac{t\ln t - \frac{1}{2}t^2\ln^2 t + o(t^2\ln^2t)}{t}}}{t}
\\
&=
\lim_{t\to0^+} \frac{e^{\ln t}}{t}
\\
&=
\lim_{t\to0^+} \frac{t}{t}
\\
&= 1
\end{aligned}
$$

解答二（取对数）

考虑乘积幂次都有的式子，不妨取对数，转化为加减法（求导里常用）

令 $y = x(1-\dfrac{\ln x}{x})^x$

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to+\infty} \ln y
&=
\lim_{x\to+\infty} [\ln x + x\ln(1 - \dfrac{\ln x}{x})]
\\
&=
\lim_{x\to+\infty} x[\ln(1 - \dfrac{\ln x}{x}) - (-\dfrac{\ln x}{x})]
\\
&=
\lim_{x\to+\infty} x[-\dfrac{1}{2}(-\dfrac{\ln x}{x})^2]
\\
&=
-\frac{1}{2} \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln^2 x}{x}
\\
&= 0
\end{aligned}
$$

$\lim\limits_{x\to+\infty} \ln y = 0
\quad\Rightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty} y = 1$