题目

$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_0^xt|\sin t|dt}{x^2}
$$

解答(一般方法)

本题直接 洛必达 的话，洛必达法则会失效

洛必达法则成立的三大条件：

  1. $\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty}, \dfrac{\cdot}{\infty}$ 型
  2. 函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的 去心邻域内 可导
  3. 求导后 $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f’(x)}{g’(x)} = A$ 存在 （$A$可为 实数，也可为$\infty$）

本题直接求导的话，原式 = $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{|\sin x|dt}{2}$ 极限不存在，故 洛必达失效

考虑一下如何求解该题，对于 绝对值函数 来说，首要目标就是去 绝对值

$|\sin x|$ 的 周期 是 $\pi$，故我们可以考虑能不能用 不等式 进行 放缩，然后 夹逼

对于任意 $k\pi \lt x \lt k\pi + \pi$，有：

$$
\begin{aligned}
\int_0^{k\pi}t|\sin t|dt &\lt \int_0^xt|\sin t|dt &\lt \int_0^{k\pi + \pi}t|\sin t|dt
\end{aligned}
$$

考虑如何求积分 $\displaystyle \int_0^{k\pi}t|\sin t|dt$

$$
\begin{aligned}
I_1 &= \int_0^{\pi} t|\sin t| dt = \pi \\
I_2 &= \int_\pi^{2\pi} t|\sin t| dt = 3\pi \\
\cdots \\
I_n &= \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} t|\sin t| dt = (2n - 1)\pi \\
\end{aligned}
$$

故 $\displaystyle \int_0^{k\pi}t|\sin t|dt = k^2\pi$

这里分享另一个做法(区间再现+积分再现)，由 @好孩子都会写代码 同学提供
$$
\begin{aligned}
\int_0^{k\pi}t|\sin t|dt
&=
\int_0^{k\pi}(k\pi - t)|\sin (k\pi - t)|dt
\\
&=
k\pi\int_0^{k\pi}|\sin t|dt - \int_0^{k\pi} t|\sin t|dt
\\
I &=
k\pi\int_0^{k\pi}|\sin t|dt - I
\\
I &=
\frac{k\pi}{2}\int_0^{k\pi}|\sin t|dt
\\
\end{aligned}
$$
而积分 $\displaystyle\int_0^{k\pi} |\sin t|dt = 2k$ 是显然的（一拱的面积为 $2$，$k$ 拱的面积为 $2k$）
则 $I = k^2\pi$，这个做法必上述递推要简单

接着我们的任务就是 凑出题设的极限，然后 夹逼

$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{k^2\pi}{x^2} \lt \lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_0^xt|\sin t|dt}{x^2} \lt \lim_{x\to+\infty}\frac{(k+1)^2\pi}{x^2}
$$

由 $k\pi \lt x \lt k\pi + \pi \quad \Rightarrow \quad x - \pi \lt k\pi \lt x
\quad \Rightarrow \quad
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(x - \pi)^2}{x^2} \lt
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{k^2\pi^2}{x^2} \lt
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x^2}
$

故 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{k^2\pi}{x^2} = \dfrac{1}{\pi}$，代入不等式中夹逼可得：$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\displaystyle\int_0^xt|\sin t|dt}{x^2} = \dfrac{1}{\pi}$

解答(O’Stolz定理)

知道 O’Stolz定理（洛必达推广的离散型） 这题就变成 构造题 了

令 $x_n = \displaystyle\int_0^{n\pi} t|\sin t|dt$，$y_n = x^2$，由于 $\{y_n\}$ 单调递增，且 $\lim\limits_{n\to\infty} y_n = +\infty$，由 O’Stolz 定理：

$$
\lim_{n\to+\infty} \frac{x_n}{y_n} =
\lim_{n\to+\infty} \frac{x_{n+1} - x_n}{y_{n+1} - y_n} =
\lim_{n\to+\infty} \frac{\dfrac{(2n+2)(n+1)\pi}{2} - \dfrac{n\cdot 2n\pi}{2}}{(n\pi + \pi)^2 - (n\pi)^2} =
\dfrac{1}{\pi}
$$

再由 海涅定理 可知：

$$
\lim_{n\to+\infty} \frac{\displaystyle\int_0^xt|\sin t|dt}{x^2} =
\lim_{n\to+\infty} \frac{x_n}{y_n} = \dfrac{1}{\pi}
$$