题目

$$
\lim_{x\to0^+}\frac
{\displaystyle\int_0^x\int_u^xu^2\arctan(1+tu)dtdu}
{\displaystyle(\int_0^x\ln(1+t)dt)^2}
$$

解答

本题核心思路还是 洛必达法则 去 积分符号

分子是一个 积分变量 分别为 $t$ 和 $u$ 的 二重积分，且两个 积分上限 都是 $x$ 不好直接 洛必达

先考虑一下 交换积分次序 的手段，能否解决这个问题（答案是显然的，因为积分域是一个三角形）

先画出 积分域，是一个边长为 $x$ 的 正方形 副对角线 上方的 三角形区域

然后利用该 积分域，交换积分次序

$$
\displaystyle\int_0^x\int_u^xu^2\arctan(1+tu)dtdu =
\displaystyle \int_0^x\int_0^t u^2\arctan(1+tu)dudt
$$

通过 交换积分次序 的手段，我们成功在 积分限 上只保留了一个 $x$，接下来就可以 洛必达 了

然后观察一下分母，可以利用 变上限积分，对 被积函数 做 等价无穷小代换，如下：

$$
\ln(1+x)\sim x
\quad\Rightarrow\quad
\int_0^x\ln(1+t)dt\sim\int_0^xtdt
$$

预处理都完成了，剩下的洛就完事了：

$$
\begin{aligned}
&\lim_{x\to0^+}\frac
{\displaystyle \int_0^x\int_0^t u^2\arctan(1+tu)dudt}
{\displaystyle(\int_0^x t dt)^2}
\\
\xlongequal{L’}&
\lim_{x\to0^+}\frac
{\displaystyle \int_0^x u^2\arctan(1+xu)du}
{2x\displaystyle\int_0^xtdt}
\\
\xlongequal{\scriptscriptstyle\text{广义积分中值定理}}&
\lim_{x\to0^+}\frac
{\displaystyle \arctan(1+x\xi) \cdot \int_0^x u^2du}
{2x\displaystyle\int_0^xtdt}
\quad \text{其中} \xi\in(0,x)
\\
=&
\frac{\pi}{8} \cdot
\lim_{x\to0^+}\frac
{\displaystyle \int_0^x u^2du}
{x\displaystyle\int_0^x tdt}
\\
\xlongequal{L’}&
\frac{\pi}{8} \cdot
\lim_{x\to0^+}\frac
{x^2}
{\displaystyle\int_0^x tdt + x^2}
\\
\xlongequal{L’}&
\frac{\pi}{8} \cdot
\lim_{x\to0^+}\frac
{2x}
{3x}
\\
=& \frac{\pi}{12}
\end{aligned}
$$