题目

设函数 $f(x)$ 连续,且$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x} = 2$, 求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\displaystyle\int_0^xe^{xt}\arctan(x-t)^2dt}{\displaystyle\int_0^xtf(x-t)dt}$

解答

由函数 $f(x)$ 连续及 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x} = 2$，易知：$\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=0$

再由 导数定义，可得：$f’(0) = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 2$

变上限积分函数 求极限，考虑 洛必达法则 求导去积分符号

分子的 变上限积分函数 中，既有 $xt$ 又有 $x-t$，换元法 不能同时消掉，故考虑 广义积分中值定理

由 广义积分中值定理 $\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi) \displaystyle\int_a^b g(x)dx$，其中 $g(x)$ 在 $(a,b)$ 上不变号

易知在 $x\to 0$ 时，$\arctan(x-t)^2$ 不变号，于是有：

$\displaystyle\int_0^xe^{xt}\arctan(x-t)^2dt = e^{x\xi}\displaystyle\int_0^x\arctan(x-t)^2dt$，其中 $\xi\in(0,x)$

$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_0^xe^{xt}\arctan(x-t)^2dt}{\displaystyle\int_0^xtf(x-t)dt} &=
e^0 \cdot \lim\limits_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_0^x\arctan(x-t)^2dt}{\displaystyle\int_0^xtf(x-t)dt} \\
&=
\lim\limits_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_0^x\arctan u^2du}{x\displaystyle\int_0^xf(u)du - \displaystyle\int_0^x uf(u)du}
\\
&=
\lim\limits_{x\to0}\frac{\arctan x^2}{xf(x) + \displaystyle\int_0^xf(u)du - xf(x)}
\\
&=
\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{\displaystyle\int_0^xf(u)du}
\\
&=
\lim\limits_{x\to0}\frac{2x}{f(x)} =
2 \cdot \lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}}
\\
&= \frac{2}{f’(0)} \\
&= 1
\end{aligned}
$$