题目

设函数 $f(x)$ 连续, 且$f(0)\ne0$, 求极限 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x\int^x_{0}f(x-t)dt}{\int_0^xtf(x-t)dt}$

解答

极限中有 变上限积分，考虑用 洛必达法则 求导消掉积分符号

然后分母的 被积函数 中含有 $x$，考虑对积分变量换元，从而分离出 $x$

令 $x - t = u$，则 $-dt = du$，有

$$
\int_0^xf(x-t)dt = \int_0^xf(u)du
$$

$$
\int_0^xtf(x-t)dt = \int_0^x(x - u)f(u)du = x\int_0^xf(u)du - \int_0^x uf(u)du
$$

拆分好后，按照先前给出的思路，洛必达 即可

$$
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x\int_0^xf(u)du}{x\int_0^xf(u)du - \int_0^x uf(u)du} =
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\int_0^xf(u)du + xf(x)}{\int_0^xf(u)du}
$$

这里没说 $f(x)$ 可导，再洛就寄了，考虑 积分中值定理 来去掉 积分符号

$\exists \xi \in (0,x), s.t. xf(\xi) = \int_0^x f(u)du$，则原式 $ = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{xf(\xi) + xf(x)}{xf(\xi)} = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\xi) + f(x)}{f(\xi)}$

又由于 $f(x)$ 连续，且 $f(0) \ne 0$，故 $\lim\limits_{\xi \to 0} f(\xi) = f(0) \ne 0$

于是，原式 $ = \lim\limits_{(\xi, x) \to (0,0)}\dfrac{f(\xi) + f(x)}{f(\xi)} = \dfrac{2f(0)}{f(0)} = 2$