第220题 | 知识点：强化极限训练（十）

题目

设 $f’(0) = 0$, $f’’(0)$存在, 求极限 $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x) - f(\ln(1 + x))}{x^3} $

解答

“f-f” 型 同名函数 相减，考虑 拉格朗日中值定理

然后，通过题干给出的条件，建立等式

由于 $f’’(0)$ 存在，故 $f’(x)$ 在点 $x=0$ 处 连续 （可导 $\Rightarrow$ 连续）

故 $\lim\limits_{x\to 0}f’(x) = f’(0)$

先由 $Lagrange$ 中值定理可得：

$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x) - f(\ln(1 + x))}{x^3}
&=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f’(\xi)(x - \ln(1+x))}{x^3}
\end{aligned}
$$

其中 $\ln(1 + x) < \xi < x$，两侧同除 x 取极限 ，然后 夹逼，可得:

$$
\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x} < \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\xi}{x} < \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{x}
\quad\Rightarrow\quad
\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\xi}{x} = 1
\quad\Rightarrow\quad
\xi \sim x \quad(x\to 0)
$$

最后用 导数定义 收尾：

$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f’(\xi)(x - \ln(1+x))}{x^3}
&=
\dfrac{1}{2} \lim\limits_{x\to0} \dfrac{f’(\xi)}{x}
\\
&=
\dfrac{1}{2} \lim\limits_{x\to0} \dfrac{f’(\xi) - f’(0)}{\xi} \cdot \dfrac{\xi}{x}
\\
&=
\dfrac{1}{2} \lim\limits_{x\to0} \dfrac{f’(\xi) - f’(0)}{\xi - 0} \cdot 1
\\
&=
\dfrac{1}{2} f’’(0)
\\
\end{aligned}
$$