题目

$$
\lim_{x\to0}\frac{(3+\sin x^2)^x-3^{\sin x}}{x^3}
$$

解答

底数相同 的 幂指函数 相减，一般考虑 左提右式 或 拉格朗日中值定理（不推荐）

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\frac{(3+\sin x^2)^x-3^{\sin x}}{x^3}
&=
\lim_{x\to0}\frac{e^{x\ln(3+\sin x^2)} - e^{\sin x\ln 3}}{x^3}
\\
&=
\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x\ln 3}[x\ln(3+\sin x^2) - \sin x\ln 3]}{x^3}
\\
&=
\lim_{x\to0}\frac{x\ln(3+\sin x^2) - x\ln 3 - (\sin x\ln 3 - x\ln 3)}{x^3}
\\
&=
\lim_{x\to0}\frac{x\cdot [\ln(3+\sin x^2) - \ln 3]}{x^3} -
\ln 3\cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}
\\
&=
\lim_{x\to0}\frac{x\cdot \ln(1+\dfrac{\sin x^2}{3})}{x^3} + \frac{\ln 3}{6}
\\
&=
\lim_{x\to0}\frac{x \cdot \sin x^2}{3x^3} + \frac{\ln 3}{6}
\\
&=
\frac{1}{3} + \frac{\ln 3}{6}
\\
&=
\frac{2 + \ln 3}{6}
\\
\end{aligned}
$$