题目

$$
\text{求极限 } \lim_{x\to0}\frac{\tan(\sin x) - x}{\arctan x - \arcsin x}
$$

解答

该极限为 $\dfrac{0}{0}$ 型极限，常用方法有：

  1. 洛必达法则
  2. 等价无穷小
  3. 泰勒展开

$$
\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3
\quad\Rightarrow\quad
\tan(\sin x) - \sin x \sim \frac{1}{3}\sin^3x
$$

由以上 等价无穷小，我们可以考虑 加减交叉项 凑出需要的形式

$$
\begin{aligned}
\text{原式}
&=
\lim_{x\to 0}
\frac{\tan(\sin x) - \sin x + \sin x - x}{-\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{6}x^3}
\\
&=
-2\lim_{x\to 0}
\frac{\tan(\sin x) - \sin x}{x^3}
-2\lim_{x\to 0}
\frac{\sin x - x}{x^3}
\\
&=
-2\lim_{x\to 0}
\frac{\dfrac{1}{3}\sin^3 x}{x^3}
-2\lim_{x\to 0}
\frac{-\dfrac{1}{6}x^3}{x^3}
\\
&=
-\frac{2}{3} + \frac{1}{3}
\\
&=
-\frac{1}{3}
\\
\end{aligned}
$$